Question

√(1-x^2)(sinx)的不定积分怎么求？

Answer 1

√(1-x^2)的不定积分为 (1/2)[arcsinx + x√(1 - x^2)] + C 。

 √(1-x^2)的不定积分的计算方法为：∫ √(1 - x^2) dx = ∫ √(1 - sin^2θ)(cosθ dθ) = ∫ cosθ^2 dθ= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x^2))/2 + C= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x^2)] + C 。

可用分部积分法：

∫√(1+x²)dx。

＝x√(1+x²)-∫[x²/√(1+x²)]。

＝x√(1+x²)-∫[(1+x²-1)/√(1+x²)]dx。

＝x√(1+x²)-∫√(1+x²)dx+∫[1/√(1+x²)]。

移项得：

∫√(1+x²)dx。

＝(x/2)√(1+x²)+(1/2)∫[1/√(1+x²)]dx。

＝(x/2)√(1+x²)+(1/2)ln|x+√(1+x²)|+C。