Question

高等代数理论基础53：最小多项式

Answer 1

由哈密顿-凯莱定理,任给数域P上的n级矩阵A, ,使 ,称f(x)以A为根,其中,次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式

引理：矩阵A的最小多项式是唯一的

证明：

引理：设g(x)是矩阵A的最小多项式,则 以A为根的充要条件为

注：引理说明,矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因式

例：

1.数量矩阵 的最小多项式为x-k,特别地,单位矩阵的最小多项式为x-1,零矩阵的最小多项式为x

2.若A的最小多项式1次多项式,则A一定是数量矩阵

3.设 ,求A的最小多项式

解：

若矩阵A与B相似, ,则 ,有 ,故

故相似矩阵有相同的最小多项式

注：最小多项式相同的矩阵不一定相似

例：设

A与B的最小多项式都等于 ,但它们的特征多项式不同,故A与B不相似

引理：设A是一个准对角矩阵 ,且设 的最小多项式为 , 的最小多项式为 ,则A的最小多项式为 的最小公倍式

证明：

注：结论可推广到A为若干个矩阵组成的准对角矩阵

的最小多项式为 ,则A的最小多项式为

引理：k级若尔当块 的最小多项式为

证明：

定理：数域P上n级矩阵A与对角矩阵相似的充要条件为A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积

证明：

推论：复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件为A的最小多项式没有重根