Question

用动态规划求解下列非线性规划问题。

Answer 1

设 MAX Z=x1*(x2^2)*x3
s.t{ x1+x2*2+x3<=8
x1,x2,x3>=0

将该问题分为三个阶段，令S0,S1,S2,S3分别表示状态变量，且S3<=8,取x1,x2,x3为各阶段决策变量，最优值函数Fk(Sk)表示第k阶段结束状态为Sk时从第1至第k阶段的最大值，故
x1=s1,2*x2+S1=S2,x3+S2=S3<=8
所以 x1=S1,0=<x2<=S2/2,0=<x3<=S3
且 S1=S2-2*x2,S2=S3-x3
用逆序递推法可知：
F1(S1)=max(x1)[其中 x1=s1]
则 (x1)* =S1 , F1(S1)=S1
F2(S2)=max(x2^2*F1(S1))
=max[x2^2*(S2-2*x2)]
(其中 0=<x2<=S2/2)
则 (x2)* =S2/3 , F2(S2)=(S2^3)/27
F3(S3)=max(x3*F2(S2))
=max[x3*(S2^3)/27]
(其中 0=<x3<=S3)
则 (x3)* =S3/4 , F3(S3)=(S3^4)/256
经分析可知，当S3=8时，F3(S3)=(S3^2)/4=16
此时达最大。故反推得：
(x3)* =S3/4=2 ，S2=S3-x3=8-2=6
(x2)* =S2/3=2 ，S1=S2-2*x2=6-4=2
(x1)* =S1=2.
MAX Z=x1*(x2^2)*x3=16