Question

如图，AB是圆O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ABC的中点，PD切圆O于点D，连接CD交AB于点E

求证（1）PD=PE
（2）PE^2=PA*PB

这道题是不是出错了?如果没有帮忙做一下~

Answer 1

如图：对于三角形BDP和三角形DAP：

角P=角P，由于角BDP+角ODB=90°，角ODB+角ADO=90°  所以角BDP=角ODA=角OAD 所以

三角形BDP和三角形DAP相似。

所以 PA/PD=PD/PB

故PA*PB=PD^2 下只要证明PD=PE即可。

因为C 是半圆的重点，有CA=CB，故角COE=90°，则角OCE+角CEO=90°，即角PED+角ED0=90°，而角PDE++角ED0=90°所以角PDE=角PED  所以三角形PDE是等腰三角形，PE=PD。

所以证得。。。。

Answer 2

证明：
1、连接OC、OD
∵AB为直径，C为半圆ABC的中点
∴OC⊥AB
∴∠OCD+∠OEC＝90
∵∠DEP＝∠OEC
∴∠OCD+∠DEP＝90
∵OC＝OD
∴∠OCD＝∠ODC
∴∠ODC+∠DEP＝90
∵PD切圆O于点D
∴∠ODC+∠EDP＝90
∴∠DEP＝∠EDP
∴PD＝PE
2、连接AD、BD
∵PD切圆O于点D
∴∠BDP+∠ODB＝90
∵OB＝OD
∴∠OBD＝∠ODB
∴∠BDP+∠OBD＝90
∵AB为直径
∴∠ADB＝90
∴∠BAD+∠OBD＝90
∴∠BAD＝∠BDP
∵∠P＝∠P
∴△PAD相似于△PDB
∴PD/PA＝PB/PD
∴PD²＝PA.•PB
∵PE＝PD
∴PE²＝PA.•PB

Answer 3

1.中点
EOC=ODP=90
OC=OD, OCE=ODE

PDO=CEO=PED
PE=PD
2.割线定理，PD*PD=PA*PB