Question

帮我判断一下这个数学题目是不是错了

以1/2为底，（3+2x-x²）为真数的对数函数
要求其单调递增区间。
对数函数底数以0<x<1的。单调性不是在（0,+∞）上都是单调递减么？

Answer 1

解：设y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4，f(x)=log(1/2) （3+2x-x²）
真数：-(x-1)^2+4＞0
(x-3)(x+1)＜0
-1＜x＜3
y的对称轴是x=1
∵0＜1/2＜1
∴f(x)的单调递增区间就是y在定义域内的递减区间。
∴f(x)=log(1/2) （3+2x-x²）的单调递增区间：
为：1＜x＜3

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这是一个复合函数，单调性还与真数函数有关。

Answer 2

没错
解释一下：
如楼上，算出定义域-1＜x＜3，y=3+2x-x²的对称轴为x=1

易知f(x)=log(1/2) （3+2x-x²）的底<1，表面是个减函数。但是这是个复合函数，就要考虑真数3+2x-x²的值域变化情况了。由上面讨论知道y=3+2x-x²在-1＜x＜1上递增，1＜x＜3上递减，
y减，log(1/2)a也减，则f(x)就增了
故递增区间为（1,3）

Answer 3

对数函数底数以0<x<1的，单调性是在（0,+∞）上都是单调递减，但题目中的这个函数是复合函数，这时要求指数函数的增减性和原来的一致的区间就是所求的单调递增区间。