Question

已知,在RT△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°

Answer 1

（1）在Rt△OAB中,已知∠BOA的度数和AB的长,可求出OA的值,即可得到点A的坐标；由于△OBC由△OAB折叠所得,那么∠BOA=∠BOC、且OA=OC,过C作x轴的垂线,在构建的直角三角形中,通过解直角三角形可得到点C的坐标；最后利用待定系数法可求出抛物线的解析式．
（2）以P、O、C为顶点的等腰三角形并没有确定腰和底,所以要分情况讨论：①CP=OP、②OC=CP、③OC=OP；
首先设出点P的坐标,在用表达式表示出△OPC三边长后,按上面所列情况列方程求解即可．
（3）在直线OB两边,到OB的距离等于3的直线有两条,直线和抛物线的交点就是M点,求出即可．
（1）由已知条件,可知OC=OA=OBtan30°=23,∠COA=60°,
C点的坐标为（3,3）,
设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
则c=012a+23b+c=03a+3b+c=3,解得a=-1b=23c=0,
所求抛物线的解析式为y=-x2+23x．
（2）由题意,设P（3,y）,则：
OP2=y2+3、CP2=（y-3）2=y2-6y+9、OC2=12；
①当OP=CP时,6y=6,即
y=1；
②当OP=OC时,y2=9,即
y=±3（y=3舍去）；
③当CP=OC时,y2-6y-3=0,即 y=3±23；
∴P点的坐标是（3,1）或（3,-3）或（3,3-23）或（3,3+23）；
（3）
过A作AR⊥OB于R,过O作ON⊥MN于N,MN与y轴交于点D．
∵∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,
∴OA=23,OB=4,
由三角形面积公式得：4×AR=23×2,
AR=3,
∵△MOB的面积等于△OAB面积,
∴在直线OB两边,到OB的距离等于3的直线有两条,直线和抛物线的交点就是M点,
∠NOD=∠BOA=30°,ON=3,
则OD=2,
求出直线OB的解析式是y=33x,
则这两条直线的解析式是y=33x+2,y=33x-2,
解y=33x+2y=-x2+23x,y=33x-2y=-x2+23x,
解得：x1=3y1=3,x2=233y2=83,x3=23y3=0,x4=-33y4=-53
此时,M1（3,3）、M2（233,83）．M3（23,0）．M4（-33,-53）．