Question

tanx-x的等价无穷小是什么？

Answer 1

具体回答如下：

x→0时，e^x→1，e^(tanx-x)-1等价于tanx-x

所以e^tan-e^x等价于tanx-x

x→0时，tanx-x等价于x^n，

=lim(x→0) (tanx-x)/x^n

=lim(x→0) ((secx)^2-1)/nx^(n-1)

=lim(x→0) (tanx)^2/nx^(n-1)

=lim(x→0) x^2/nx^(n-1)

=lim(x→0) x^(3-n)/n

n=3

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

要求 tan(x) - x 的等价无穷小，首先我们需要知道 x 趋向于零时，tan(x) 和 x 的极限值。
极限计算： lim (x0) tan(x) = 0 lim (x0) x = 0
求 tan(x) - x 的极限： lim (x0) (tan(x) - x) = lim (x0) tan(x) - lim (x0) x = 0 - 0 = 0
因此，tan(x) - x 的等价无穷小是 0，即当 x 趋向于零时，tan(x) - x 可以近似为 0。这意味着在 x 接近零的情况下，tan(x) 和 x 是非常接近的，可以近似看作相等。

Answer 3

当x趋近于0时，tan(x) - x的等价无穷小是 x^3。

根据泰勒展开，我们可以将tan(x)在x=0附近展开成无穷级数：
tan(x) = x + (1/3)x^3 + (2/15)x^5 + ...

当我们减去x，得到：
tan(x) - x = x + (1/3)x^3 + (2/15)x^5 + ... - x = (1/3)x^3 + (2/15)x^5 + ...

在极限情况下，当x趋近于0时，(1/3)x^3 + (2/15)x^5 + ... 的项会趋近于0，因此我们可以说tan(x) - x的等价无穷小是 x^3。