Question

级数收敛的必要条件

Answer 1

级数收敛的必要条件：通项an趋于0。一般验证一个级数是否收敛，首先看通项an是否趋于0，若不满足这条则可以判断该级数发散。如果这条满足，并不能保证级数收敛。

级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。

收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。

迭代算法的敛散性

1.全局收敛

对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。

2.局部收敛

若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。

Answer 2

级数收敛的必要条件：通项an趋于0。

一般的课本上在讨论正项级数的收敛判别法时会介绍比式判别法（达朗贝尔判别法）、根式判别法（柯西判别法）、柯西积分判别法以及拉贝判别法（Raabe判别法）。本文再补充介绍一些其他的判别法。

库默尔(Kummer)判别法

设, 是一个正项级数。做序列

若存在自然数使得成立，其中，则级数收敛;

若存在自然数使得且级数发散，则级数发散。

证明：(1) 不妨设对一切自然数都成立(想一想为什么？). 则

即

这说明是递减数列，因而存在极限。因此级数

收敛, 于是由比较判别法及(1)式可得级数收敛.

(2) 如果

则

因此以上诸式相乘可得

由比较判别法可知发散。

库默尔判别法的极限形式：

设

那么当时级数收敛；当时级数发散。

例1(达朗贝尔判别法).

令, 则

其中且设. 这时

如果, 则, 于是由库默判别法可知级数收敛；

如果, 则, 于是由库默尔判别法可知级数发散。

这其实就是达朗贝尔判别法。

例2(拉贝判别法).

令. 则

其中且设. 这时

如果, 则, 由库默尔判别法可知级数收敛；

如果, 则, 由库默尔判别法可知级数发散。

这其实就是拉贝判别法。