Question

-1的n次方是收敛还是发散?为什么?

Answer 1

-1的n次方发散。

因为-1的n次方是以“-1，1”交替出现的周期为2的摆动数列。并且当n为奇数时-1的n次方等于-1；当n为偶数时，-1的n次方等于1。由此可知，“-1的n次方”的奇子列与偶子列的极限存在但不相等。所以，-1的n次方的极限不存在。

因为当n趋向于“无穷大”时-1的n次方的极限不存在。所以，根据“数列收敛的充要条件是这个数列的极限存在”和“数列发散的充要条件是这个数列的极限不存在”可知，-1的n次方发散。

并且若该数列收敛，则其任一子数列收敛，而事实不是这样，下面证明.

-1的2k次方是该数列一子数列，其极限为1，-1的2k+1次方也是该数列一子数列，其极限为-1，

两子数列极限不同，故不收敛。

数列收敛、发散与数列有界的关系

根据“-1的n次方发散”这个例子，不难发现：数列收敛是数列有界的充分不必要条件，而数列发散是数列有界的既不充分也不必要条件。即：

（1）如果一个数列的极限存在，则这个数列一定是有界数列。

（2）如果一个数列有界，则这个数列的极限不一定存在。如：-1的n次方。

（3）如果一个数列发散，则这个数列既可能有界（如：-1的n次方、sin(π/n)等），也可能无界（如：n的平方、2的n次方等）。