Question

设f(z)在|z|<=1上解析，并且|f(z)|<=1,试证明|f＇(0)|<=1

Answer 1

由cauchy积分公式, f'(0) = 1/(2πi)·∫{|z| = 1} f(z)/z² dz.

故|f'(0)| = 1/(2π)·|∫{|z| = 1} f(z)/z² dz|

≤ 1/(2π)·∫{|z| = 1} |f(z)/z²| |dz|

= 1/(2π)·∫{|z| = 1} |f(z)| |dz|

≤ 1/(2π)·∫{|z| = 1} 1 |dz|

= 1

扩展资料：

复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。

共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场 、电路理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。

计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。

参考资料来源：百度百科—复变函数

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