Question

怎么证明有界函数

Answer 1

证明有界函数的方法如下：

1、理论法：若f（x）在定义域[a，b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f（x）在[a，b]上必然有界。

2.计算法：切分（a，b）内连续。

1imx→a+f（x）存在1imx→a+f（x）存在；limx→b-f（x）存在limx→b-f（x）存在则f（x）在定义域[a，b]内有界。

3、运算规则判定：在边界极限不存在时。

有界函数士有界函数=有界函数（有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态）

有界*有界=有界

注意事项：

1、函数在某区间上，要么有界要么无界，二者必属其一；

2、从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界。如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。

一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。例如：y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如（-π/2，π/2）内则无界。

sinx，cosx，sin（1/x），cos（1/x），arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx是常见的有界函数。