Question

证明线面平行的方法

Answer 1

证明线面平行的方法如下：

1、利用定义：线面平行（即直线与平面无任何公共点）。

2、利用判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）。

3、利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必然平行于另一个平面。

4、空间向量法：即证明直线的向量与平面的法向量垂直，就可以说明该直线与平面平行。

线面平行，几何术语。定义为一条直线与一个平面无公共点(不相交)，称为直线与平面平行。

判定定理如下：

1、平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

已知：a∥b，a⊄α，b⊂α，求证：a//α。

反证法证明：假设a与α不平行，则它们相交，设交点为A，那么A∈α。

因为a//b，所以A不在b上，

在α内过A作c//b，则a∩c=A，

又因为 a//b，b//c，所以a//c，与a∩c=A矛盾，

所以假设不成立，a//α。

向量法证明：设a的方向向量为a，b的方向向量为b，面α的法向量为p。

因为b⊂α，所以b⊥p，即p·b=0，

因为a//b，由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb，

那么p·a=p·kb=kp·b=0，

即a⊥p，所以a//α。

2、平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。求证：a//α。

证明：设a与b的垂足为A，b与α的垂足为B。

假设a与α不平行，那么它们相交，设a∩α=C，连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面，因此ABC首尾相连得到△ABC。

因为B∈α，C∈α，b⊥α，所以b⊥BC，即∠ABC=90°，

因为a⊥b，即∠BAC=90°，所以在△ABC中，有两个内角为90°，这是不可能的事情。

所以假设不成立，a//α。