数列极限的四则运算法则
数列极限的四则运算法则如下：
当数列{an}，{bn}分别以a，b为极限时，数列{an±bn}的极限是a±b，数列{anbn}的极限是ab；当bbn不等于0时，{an/bn}的极限是a/b；当函数f，g分别以a，b为极限时，函数f±b的极限是a±b，函数fg的极限是ab；当bg不等于0时，{f/g}的极限是a/b。
数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。
数列极限的四则运算法则证明方法如下：
定理：设{an}与{bn}为收敛数列，则
（1）lim(n->∞)(an±bn)=lim(n->∞)an±lim(n->∞)bn;
（2）lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.
若bn≠0且lim(n->∞)bn≠0，则lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.
证：设lim(n->∞)an=a，lim(n->∞)bn=b，则ε>0，正整数N，
使当n>N时，有|an-a|<ε; |bn-b|<ε.
（1）则|(an+bn)-(a+b)|≤|an-a|+|bn-b|<2ε.
所以lim(n->∞)(an+bn)=lim(n->∞)an+lim(n->∞)bn;
∵an-bn=an+(-bn)，
所以lim(n->∞)(an-bn)=a-b=lim(n->∞)an-lim(n->∞)bn.
（2）由有界性定理，存在正数M，对一切n有|bn|<M.
∴|an·bn-ab|=|bn(an-a)+a(bn-b)|≤|bn||an-a|+|a||bn-b|<(|bn|+|a|)ε<(M+|a|)ε.
∴lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.
∵an/bn=an·1/bn，所以lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.
