Question

2道线性代数证明题

1。A为N阶方阵，且A^2=A，证明r(A)+r(A-E)=n。
2。A为N阶方阵，且A^2=e，证明r(A-E)+r(A+E)=n。
谢谢解答，不过没有更简单点的证明吗？看上去还有点复杂耶。我明天再回来看看。

Answer 1

这里用到两个定律：R(A)+R(B)<=R(AB))+n,R(A)+R(B)>=R(A+B).第一道解：A（A-E）=0得到R(A)+R(A-E)<=R(A(A-E))+n,即R(A)+R(A-E)<=n;再对A^2=A变换成(2A-E)(1/2A-1/4E)=1/4E，所以|2A-E|!=0,又因为R(A)+R(A-E)>=R(A+A-E),又得R(A)+R(A-E)>=n;所以r(A)+r(A-E)=n。第二道同理。在这里用方程组的思想解最简单，由A（A-E）=0可以看出A-E是A的基础解系生成的n个解。

Answer 2

[ 简单些的证明 ]
用到两个基本结论: 1. 若AB = 0, 则 r(A)+r(B) <=n 2.r(A+B)<=r(A)+r(B)
(1) 因为 A^2=A, 所以 A(A-E)=0. 所以 r(A)+r(A-E)<=n
又因为 r(A)+r(A-E)>=r[A -( A-E)]=r(E)=n. 所以 r(A)+r(A-E)=n。
(2) 因为 A^2=E, 所以 (A+E)(A-E) = 0. 所以 r(A+E)+r(A-E)<=n.
又因为 r(A+E)+r(A-E) >= r[(A+E)-(A-E)] = r(2E) = r(E) = n. 所以 r(A-E)+r(A+E)=n。