Question

定积分怎么求体积？

Answer 1

定积分求体积方法：圆盘法、壳层法。

圆盘法：

一条曲线y=f(x)，如果曲线绕x轴旋转，则曲线经过的区域将形成一个橄榄球形状的体积。依然按照黎曼和切片的思路去计算，将矩形绕x轴旋转一周将得到一个半径为y，高度为dx的圆盘。该圆盘的面积S(x)≈π(f(x))2，体积：Δv≈S(x)Δx，如果将整个图形的体积切成n个圆盘。

壳层法：

假设坩埚内壁的横截面曲线是y = x2，深度是a，计算坩埚的容积。矩形绕y轴旋转一周将得到一个圆环，其厚度是dx，半径是x，高度是a–x2。如果展开圆环，将得到一个底面积是圆环周长，高度是dx的长方体。就可以得出体积。

定积分的定义：

是积分的一种，是函数f(x)在区间[a，b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！