电和磁的那些事儿（二）
2.1 麦克斯韦方程一：高斯电场定律
麦克斯韦的第一个方程是单独描述电场的，那我们就先来单独看一看电场。
从那个广为人知的富兰克林风筝实验就知道，人们对电感兴趣早已经不是一天两天了。很早以前人们发现了电的最小单位：正负电荷，它们同性相斥，异性相吸。早在1785年，法国科学家库伦就发现了电荷之间相互作用力的定量关系。库伦发现电荷之间的作用力与两个点电荷的电量成正比，与它们距离的平方成反比。科学研究联想很重要，类比就会发现，这规律跟牛顿万有引力的规律如出一辙。万有引力描述，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离成反比。
这个“平方反比定律很是神奇”。大到天体，小到电荷都有它的影子。其实仔细思考一下便知，我们生活在一个各向同性的三维空间里。想象一下：假设现在有一个电源开始向四面八方辐射能量，我们将其传播的能量看成一个球面一层一层向外传播的，由于每一层传播的能量都是相同的，而球面的面积为S=4πr²，即与r²成正比，那么在同一层的每一个点上分的能量就与4πr²成反比，这就是平方反比定律的原因。
于是我们对于库伦定律的理解就不难了。很明显，两电荷之间的静电力肯定跟二者的带电量有关，所带电荷越多静电力越大，再考虑平方反比定律，库伦定律就呼之欲出了：两个电荷之间的静电力跟两个电荷量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。
库伦定律是实验定律，库伦完美的诠释了两个点电荷之间确实存在静电力，并给出了力的大小。但是，还有一个问题，库伦只告诉了我们两个电荷之间存在力，但是这个力是靠什么传播的？科学江湖上曾经有一段时间盛行一种说法：是靠以太传播的。后来便销声匿迹了，因为法拉第后来发现是力线。力线也不是什么物理上引进的辅助工具，而是实实在在的客观物理存在。后来就慢慢变成了我们现在熟悉的场。
有了场的帮助，两个电荷之间的作用就更加具体了。由于任意一个电荷都会在其周围产生电场，而电场会对处在其中的电荷产生力的作用，继而表现为两个电荷之间的相互作用。当然这个场是一个矢量，有大小和方向，在物理中，用电场线来描述电场。
好了，现在我们了解了两个点电荷之间的力的关系。当然点电荷只是物理中为了分析问题而进行的简化。现实中，我们遇到的都是更复杂的物体，带电性质或许也更为复杂。那这个时候我们该怎么求电场？
一个很自然的想法就是利用微积分思想，先把复杂的物体分割成一系列的点，求出各个点的电场强度，然后将电场叠加就行了。这是库伦定律和微积分的一次结合，原则上是行得通的，但是在具体的实现中却会遇到各种各样的难题，变得复杂。
你看，有时候理论的完美并不能指导实践的产出。不仅仅在科学领域。
那是否还能找到更为简单实用的方法呢？答案是肯定的。
好，我们换一个思路： 我们知道世界是不断变化的，但是看似错综复杂的变化背后总是隐藏着某些不变的东西。例如，一切物体的运动中隐藏着质量这个不变的东西；物体在各种状态及变化中隐含着能量守恒这个不变的概念。那么电场中我们能够挖掘到哪些不变的东西呢？答案是 通量 。
想象一下，空间中有一个水龙头在源源不断的向四周喷水，并且假设也可以从四周吸水。这犹如空间中的一个点电荷喷射电场线一样，正电荷“喷出”电场线，负电荷“吸入”电场线。另外假设以水龙头为原点，有一个很大的圆球包围着这个水龙头，那么水龙头喷出的或吸入的水必然要经过这个圆球的球面。那么在这个过程中你是不是能发现什么不变的量？对，无论这个球有多大，性状怎样，只要这个球是封闭的，那么从水龙头喷出或吸入的水的总量一定等于经过这个球表面的水量。这便是通量的启蒙。
这个类比有精准的地方，也有粗糙的地方。精准的地方在于电通量的描述与水通量的描述如出一辙，即为电场线通过球的表面的量。而粗糙的地方在于，如何描述电荷这个“电龙头”喷出多少电场线呢？其实也不难解决，因为我们知道电场线的疏密程度是与点电荷的带电量相关的。带电量越大，电场线越密，电通量也越大。所以我们就直接将电通量与电荷的带电量联系起来就好了。
到目前为止，高斯电场定律的思想已经呼之欲出了：通过一个闭合曲面的电通量跟曲面内包含电荷总量成正比，电荷量越大，通过这个任意闭合曲面的电通量越大，反之亦然。
当然，上面只是对高斯电场定律的口语化的文字表达，对于严格的定律我们需要一个严格的公式去表达它。
上面这个公式就是高斯电场定律的积分形式。这个公式的左端表示电场通过某一个封闭曲面的电通量——电场与曲面面积的矢量乘积。当然这样定义电通量也是有迹可循的，因为我们了解到电场强度越大，封闭曲面的面积越大，则通过该曲面的电通量越大。自然而然，我们需要这样定义电通量。方程的右端q表示的是曲面内包含的电荷总量，而 ε0 是一个常数，我们称它为真空介电常数。
当然，有积分形式，必然会有微分形式，高斯电场定律的微分形式如下：
如上两式描述的是同一件事情。
