Question

直线的点法式方程

Answer 1

点法式方程是u(x-x0)+v(y-y0)=0。

可以表示所有直线方程式u(x-x0)+v(y-y0)=0（u,v不全为零），高中数学中直线方程之一，(x-x0)·u=(y-y0)·v，且u，v不全为零的方程，称为点法向式方程，该方程可以表示所有直线。

平面π上任意一点的坐标都满足这个方程。而坐标满足方程的点都在π上，于是这个方程就是过点且与向量垂直的平面π的方程，称为平面的点法式方程。

点法式方程的特点

一张平面π可以由π上任意一点和垂直于π的任意一个向量完全确定。垂直于π的任意向量称为π的法向量。

点法向式就是由直线上一点的坐标和与这条直线的法向量确定的（x0,y0）为直线上一点，｛u,v}为直线的法向向量。

【例】求过点A (2,3)且分别适合下列条件的直线的方程：

（1）平行于直线2x +y -5=0

（2）垂直于直线x -y -2=0[3][2]

解：（1）由于直线2x +y -5=0的法向量为a =(2,1)，而由于所求直线与直线

2x +y -5=0平行，故a 也是所求直线的法向量，由直线点法式方程得：

2(x -2) +1⋅(y -3) =0

故所求直线方程为：2x +y -7=0

（2）由于直线x -y -2=0的法向量为m =(1, -1) ，设所求直线的法向量n =(x 0, y 0) ，

由题设m ⊥n ，所以m ⋅n =0即x 0-y 0=0，即x 0=y 0，所以所求直线的法向量为 n =(x 0, x 0) ，由直线点法式方程得：x 0(x -2) +x 0(y -3) =0(x 0≠0)

故所求直线方程为：x +y -5=0

说明：应用直线点法式方程解决此类问题时，关键在于确定点与法向量。