Question

组合公式 求证C(n-1,n-1)+C(n,n-1)+C(n+1,n-1)+...+C(m,n-1)=C(m,n),

Answer 1

从含义上：
在m个物品中拿出n个物品（C（m,n））
从m个物品中任意指定m-n个,并按次序编号为第1到第m-n号,而其余的还有n个.
则选出n个物品的方法可分类为：
包含1号的有C（m-1,n-1）种；
不包含1号,但包含2号的有C（m-2,n-1）种；
不包含1号2号,但包含3号的有C（m-3,n-1）种；
.
不包含1到m-k号,但包含m-k+1号的有C（k-1,n-1）种
.
不包含1到m-n-1号,但包含m-n号的有C（n,n-1）种
不包含1到m-n号的有 C（n,n）种,而C（n,n）=C（n-1,n-1）=1
由于两种思路都是从m个物品中任选n个的方法,因此
C(n-1,n-1)+C(n,n-1)+C(n+1,n-1)+...+C(m,n-1)=C(m,n)