Question

已知f(x)=2x/1+x^2(x属于R),讨论函数f(x)的性质,并作出图像

Answer 1

f(-x)=2(-x)/(1+(-x)^2)=-2x/(1+x^2)=-f(x),所以,是奇函数于是,马上可以算出,f(0)=0,观其分母(1+x^2)>=1,可以保证分式有意义,所以定义域是R因为,(1+x^2)>=2x,所以,当x>0时,f(x)=2x/(1+x^2)<=1；当x(1+x^2)>=-1,所以值域-1<=f(x)<=1；当(1+x^2)=2x时,取最值,也就是,当x=1时,最大值f(x)=1；当x=-1时,最小值f(x)=-1；计算f(x)的导函数以判断f(x)的单调性,f'(x)=[2x/(1+x^2)]'=[2(1+x^2)-2x*2x]/[(1+x^2)^2]=2(1-x^2)/[(1+x^2)^2],当-1<x 0,f(x)是增函数；当x1时,f'(x)<0,f(x)是减函数</x