一元二次方程解法
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关于一元二次方程的解法
一元二次方程的解法 一、知识要点： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基 础。
一元二次方程的一般形式为：ax^2(2为次数，即X的平方)+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 二、方法、例题精讲： 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如（x-m）2=n (n≥0)的 方程，其解为x=±根号下n+m . 例1.解方程（1）(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式（3x-4）2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：（3x+1）2=7* ∴（3x+1）2=5 ∴3x+1=±（注意不要丢解） ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= (2)解： 9x2-24x+16=11 ∴（3x-4）2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1:x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式：（x+ ）2= 当b^2-4ac≥0时，x+ =± ∴x=（这就是求根公式） 例2.用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 （注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2 将二次项系数化为1:x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：（x-）2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±（b^2-4ac）^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b^2-4ac=(-8)2-4*2*5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±（b^2-4ac）^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2= . 4.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程： （1） (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 （选学） （4）x2-2( + )x+4=0 （选学） （1）解：（x+3）(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 （方程左边为二次三项式，右边为零） （x-5）(x+2)=0 （方程左边分解因式） ∴x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程） ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 （2）解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 （用提公因式法将方程左边分解因式） ∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程） ∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 （3）解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错） ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。
（4）解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法） （x-2）(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。
但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
例5.用适当的方法解下列方程。（选学） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0 (3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。
观察后发现，方程左边可用平方差公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。 （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。
（3）化成一般形式后利用公式法解。 （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 (2)解： x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3,x2=1 (3)解：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 （先化成一般形式） △=（-2 ）2-4 *=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= (4)解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 （选学） 。
一元二次方程解法,举几个例子要过程
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.1、直接开平方法：例.解方程（3x+1）^2;=7(3x+1)^2=7 ∴（3x+1）^2=7 ∴3x+1=±√7（注意不要丢解符号） ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3 2.配方法：例.用配方法解方程 3x²-4x-2=0 将常数项移到方程右边 3x²-4x=2 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=2 +(4/6 )² 配方：（x-4/6）²= 2 +(4/6 )² 直接开平方得：x-4/6=± √[2 +(4/6 )² ] ∴x= 4/6± √[2 +(4/6 )² ] 3.公式法：例.用公式法解方程 2x²-8x=-5 将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b²-4ac=(-8)²-4*2*5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±√（b²-4ac）]/(2a) 4.因式分解法：例.用因式分解法解下列方程：（1） (x+3)(x-6)=-8 (1)(x+3)(x-6)=-8化简整理得 x2-3x-10=0 （方程左边为二次三项式，右边为零） （x-5）(x+2)=0 （方程左边分解因式） ∴x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程） ∴x1=5,x2=-2是原方程的解.。
【一元二次方程的解法的具体过程快些高师门】
一元二次方程的解法 一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基 础.一元二次方程的一般形式为：ax^2(2为次数，即X的平方)+bx+c=0,(a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程.解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如（x-m）2=n (n≥0)的 方程，其解为x=±m .例1.解方程（1）(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式（3x-4）2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解.（3x+1）2=7* ∴（3x+1）2=5 ∴3x+1=±（注意不要丢解） ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1:x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式：（x+ ）2= 当b2-4ac≥0时，x+ =± ∴x=（这就是求根公式） 例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0 将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 将二次项系数化为1:x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：（x-）2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= .3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±（b^2-4ac）^(1/2)]/(2a) ,(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根.例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5 将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4*2*5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±（b^2-4ac）^(1/2)]/(2a)∴原方程的解为x1=,x2= .4.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.。
绝对值一元二次方程解法
方法一；分类讨论，即找出分段点，考虑当绝对值符号内数式等于o时，x取值，由此分划x取值范围.例如 处理∣x+4∣将x范围分为x小于-4,x等于-4及x大于-4，这样消去了绝对值，将原方程转化为普通方程，进而求解.又如解∣x∣²-4=3∣x∣时分别考虑x大于0，等于0及小于0三种情况.但需要检验结果.（如给定方程考虑当x大于0时解得x=-6，矛盾！）关于划分范围的方法若不是很熟练，可参看百科“零点分段法”.方法二：整体换元.例如解x²-4=6∣x∣，如果分类讨论，虽然可行但较为繁琐.这里，我们可以将x²看成∣x∣²，则有∣x∣²-4=6∣x∣，把∣x∣视为未知数求解，解得∣x∣再分情况讨论（上一题也可以），运算量就明显降低.从这里就可看出换元法的一个优点，形象的说，就是“过河拆桥”.当然有些含绝对值的一元二次方程并非一定要使用此两种方法（但这两种方法一般而言适用性很强）.对于有些解法较为巧妙的试题（例如求含绝对值的二元二次方程组解的个数），可以通过观察，分析问题本质，设而不求，有时也是一种思路.总之试题千变万化，因此解法也不必拘泥于以上两种方法.。
一元二次方程的解法 一、知识要点： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基 础。
一元二次方程的一般形式为：ax^2(2为次数，即X的平方)+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 二、方法、例题精讲： 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如（x-m）2=n (n≥0)的 方程，其解为x=±根号下n+m . 例1.解方程（1）(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式（3x-4）2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：（3x+1）2=7* ∴（3x+1）2=5 ∴3x+1=±（注意不要丢解） ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= (2)解： 9x2-24x+16=11 ∴（3x-4）2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1:x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式：（x+ ）2= 当b^2-4ac≥0时，x+ =± ∴x=（这就是求根公式） 例2.用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 （注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2 将二次项系数化为1:x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：（x-）2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±（b^2-4ac）^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b^2-4ac=(-8)2-4*2*5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±（b^2-4ac）^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2= . 4.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程： （1） (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 （选学） （4）x2-2( + )x+4=0 （选学） （1）解：（x+3）(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 （方程左边为二次三项式，右边为零） （x-5）(x+2)=0 （方程左边分解因式） ∴x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程） ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 （2）解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 （用提公因式法将方程左边分解因式） ∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程） ∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 （3）解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错） ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。
（4）解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法） （x-2）(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。
但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
例5.用适当的方法解下列方程。（选学） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0 (3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。
观察后发现，方程左边可用平方差公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。 （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。
（3）化成一般形式后利用公式法解。 （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 (2)解： x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3,x2=1 (3)解：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 （先化成一般形式） △=（-2 ）2-4 *=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= (4)解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 （选学） 。
一元二次方程解法,举几个例子要过程
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.1、直接开平方法：例.解方程（3x+1）^2;=7(3x+1)^2=7 ∴（3x+1）^2=7 ∴3x+1=±√7（注意不要丢解符号） ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3 2.配方法：例.用配方法解方程 3x²-4x-2=0 将常数项移到方程右边 3x²-4x=2 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=2 +(4/6 )² 配方：（x-4/6）²= 2 +(4/6 )² 直接开平方得：x-4/6=± √[2 +(4/6 )² ] ∴x= 4/6± √[2 +(4/6 )² ] 3.公式法：例.用公式法解方程 2x²-8x=-5 将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b²-4ac=(-8)²-4*2*5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±√（b²-4ac）]/(2a) 4.因式分解法：例.用因式分解法解下列方程：（1） (x+3)(x-6)=-8 (1)(x+3)(x-6)=-8化简整理得 x2-3x-10=0 （方程左边为二次三项式，右边为零） （x-5）(x+2)=0 （方程左边分解因式） ∴x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程） ∴x1=5,x2=-2是原方程的解.。
【一元二次方程的解法的具体过程快些高师门】
一元二次方程的解法 一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基 础.一元二次方程的一般形式为：ax^2(2为次数，即X的平方)+bx+c=0,(a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程.解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如（x-m）2=n (n≥0)的 方程，其解为x=±m .例1.解方程（1）(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式（3x-4）2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解.（3x+1）2=7* ∴（3x+1）2=5 ∴3x+1=±（注意不要丢解） ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1:x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式：（x+ ）2= 当b2-4ac≥0时，x+ =± ∴x=（这就是求根公式） 例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0 将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 将二次项系数化为1:x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：（x-）2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= .3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±（b^2-4ac）^(1/2)]/(2a) ,(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根.例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5 将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4*2*5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±（b^2-4ac）^(1/2)]/(2a)∴原方程的解为x1=,x2= .4.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.。
绝对值一元二次方程解法
方法一；分类讨论，即找出分段点，考虑当绝对值符号内数式等于o时，x取值，由此分划x取值范围.例如 处理∣x+4∣将x范围分为x小于-4,x等于-4及x大于-4，这样消去了绝对值，将原方程转化为普通方程，进而求解.又如解∣x∣²-4=3∣x∣时分别考虑x大于0，等于0及小于0三种情况.但需要检验结果.（如给定方程考虑当x大于0时解得x=-6，矛盾！）关于划分范围的方法若不是很熟练，可参看百科“零点分段法”.方法二：整体换元.例如解x²-4=6∣x∣，如果分类讨论，虽然可行但较为繁琐.这里，我们可以将x²看成∣x∣²，则有∣x∣²-4=6∣x∣，把∣x∣视为未知数求解，解得∣x∣再分情况讨论（上一题也可以），运算量就明显降低.从这里就可看出换元法的一个优点，形象的说，就是“过河拆桥”.当然有些含绝对值的一元二次方程并非一定要使用此两种方法（但这两种方法一般而言适用性很强）.对于有些解法较为巧妙的试题（例如求含绝对值的二元二次方程组解的个数），可以通过观察，分析问题本质，设而不求，有时也是一种思路.总之试题千变万化，因此解法也不必拘泥于以上两种方法.。
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