Question

已知函数f(x)在区间(0,2]上连续，则不定积分为______。

Answer 1

[(sinx)^2+2]cosx/3+C

解析：∫[(sinx)^n]dx=-{[(sinx)^(n-1)]cosx}/n+[(n-1)/n]∫[(sinx)^(n-2)]dx。

此问题中n=3

∫[(sinx)^3]dx=-{[(sinx)^(3-1)]cosx}/3+[(3-1)/3]∫[(sinx)^(3-2)]dx

=-{[(sinx)^2]cosx}/3+(2/3)∫(sinx)dx

=-{[(sinx)^2]cosx}/3+(2/3)(-cosx)+C

=-{[(sinx)^2]cosx}/3-2cosx/3+C

=-[(sinx)^2+2]cosx/3+C

扩展资料：

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。