Question

矩阵可逆与秩的关系

Answer 1

An可逆，r(A)=n 或 |A|≠0。 阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。 m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

扩展资料

　　矩阵可逆的充要条件是矩阵满秩,而满秩矩阵的逆矩阵也是满秩的.所以说,你的问题的答案是二者的秩shu相等,且皆等于矩阵的阶数.设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

　　定义：

　　1、在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。 例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。

　　2、A=(aij)m×n的`不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA，或rankA或R(A)。 特别规定零矩阵的秩为零。 显然rA≤min(m,n) 易得： 若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

　　由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A) 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。 由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。