Question

您好，有一道奥数题想要请教。

一张圆桌边坐了16个学生。课间休息时他们离开座位，上课后又重新坐回到桌边。可以确定的是，每个学生要么还坐在自己原来的座位上，要么坐在与原来座位相邻的两个座位的其中一个上。请问共有多少种不同的坐法？
谢谢，弄了很久都弄不清的题目。
这道题我先前问过，有很厉害的人解答过。但是不是知道有没有什么不一样的解题思路。

Answer 1

如果，16个人全在位置上，那么有一种。
而且，如果有一个人在他自己原来的位置上，那么它一侧的人如果不在位置上，
只能跟那一则的交换，而且，被交换的数字，必须填补回来，不然，这将中个空位。如图
---D---C----不动点X------A------B-----Y--
---C---D----不动点X------B------A-----Y--
后面的数字如果也有交换，只可能和它后面的数字进行了。
所以，能交换的数字组成若干个数字交换对，且每个只有一种交换方式。
故而可以得出
1，除非一个环全部运动，不然，不存在奇数个位置进行交换。
2，每组数字只有一种组合，及AB变成BA，所以，只有求组合对数就行了。
先核算其直线排列下基本公式。
16个人全在位置上，那么有1种即，C(16,0)
14个人在位置上，那么有C(16-2+2/2,2/2)
12个人在位置上，那么有C(16-4+4/2,4/2)
10个人在位置上，那么有C(16-6+6/2,6/2)
……
2个人在位置上，那么有C(16-14+14/2,14/2)
0个人在位置上，那么有C(16-16+16/2,16/2)=1
其在环路下，有，当第一组不占据(1,2),位置时，最后一组可以使用(16,1)
所以，其排列数为，使其按基数加来算，但要除去第一组在(1,2)位置上时，最后一组选(16,1)的情况，可由线性组合公式C(n-x,x)推导相应的环形组合数公式为。
C(n-x+1,x)-C(n-x+1-4/2,x-2)=C(n-x+1,x)-C(n-1-x,x-2)
所以有
16个人全在位置上，那么有1种即，C(16,0)
14个人在位置上，环路下为C(16-2+2/2+1,2/2)-0
12个人在位置上，环路下为C(16-4+4/2+1,4/2)-C(16-1-4+4/2,4/2-2)
10个人在位置上，环路下为C(16-6+6/2+1,4/2)-C(16-1-6+6/2,6/2-2)
……
2个人在位置上，环路下为C(16-14+14/2+1,14/2)-C(16-1-14+14/2,14/2-2)
0个人在位置上，环路下为C(16-16+16/2+1,16/2)-C(16-1-16+16/2,16/2-2)
又因为，当全不在位置上时，可以整个向单方向旋转，
且左右各一种，故另加大环位置交换2种。
所以，总共做法为。
C(16,0)+C(16,1)+C(15,2)-C(13,0)+C(14,3)-C(12,1)……+C(10,7)-C(8,5)+C(9,8)-C(7,6)+2
计算得
1+16+104+352+660+672+336+64+2+2=2209

Answer 2

首先大家还是原位坐是1种坐法，其次大家顺次向左或者向右坐了一个位是2种坐法。
然后下面就是分组讨论了：
把16个人编号为1-16号，其开始坐的位置也为1-16号，那么1号人可以改变坐的位置是2号或者16号坐，其他人也同样是这个道理。如果1号人坐2号位，那么2号人只能坐1号位（顺次移动已经分析过了，所以2人号只能坐在1号位上）。将相邻的两人分为一组，共分8组，有2种分法。
第一种情况，只有两个人的位置发生变化，那么共有8种方法。
第二种情况，有四个人的位置发生变化，那么有28种。
第三……以此类推
所以综合一共是255种坐法。但是不要忘记了，分成八组的时候有两种分法。所以第三个步骤的方法是要再乘以2的，然后最后的结论是513种。
不会，网上找的答案
链接贴不上

Answer 3

16个人，为了好理解，把他们遍一个号：1.2.3.4...........15.16
所有人位置不变 只有1种
捆绑（1.2）（3.4）（5.6）...............（15.16）一共8组
每组2个可以换位置也可以不换，所以一共是2^8=256
捆绑（2.3）（4.5）（6.7）................（16.1）一共8组
每组2个可以换位置也可以不换，所以一共是2^8=256

另外还有2种特殊的，就是全部顺时针转一个，全部逆时针转一个

所以一共是1+256+256+2=515

Answer 4

他们同学的次序不能打乱
打乱后可能有两个同学抢一个座
要么同时左移同时右移要么坐原来的
3

Answer 5

513种