Question

1、已知a是一元二次方程x²-3x+1=0的一根,求下列代数式的值 ① a²+1/a² ②

Answer 1

（1）x²-3x+1=0 ,用求根公式得 x=﹣(﹣3)±√(﹣3)²－4×1／2=3±√5／2 即a=3±√5／2 所以 ① a²+1/a²=（a＋1／a）²－2=[(3＋√5)／2＋1／(3＋√5／2)]²－2=7 或者a²+1/a²=（a＋1／a）²－2=[(3－√5)／2＋1／(3－√5)／2]²－2=7 ②a/a²+2a+1=a／(a＋1)²=(3＋√5)／2÷[(3＋√5)／2＋1]²=1／5 或者a/a²+2a+1=a／(a＋1)²=（3－√5）／2÷[(3－√5)／2＋1]²=1／5 (2)根据a²+2ab+b²-4(a+b-1)=0得 （a＋b）²－4（a＋b）＋4=0 (a＋b－2)²=0 所以a＋b－2=0 ,a+b-3=﹣1 （3）由m是关于x的方程x²-2012x-1=0的根,代入m可知 m²－2012m－1=0 所以m²-2012m+3=4,m²-2012m+4=5 （m²-2012m+3)×（m²-2012m+4）=4×5=20