Question

九年级数学题目

如图，（图画就是一个等腰三角形，点C为顶点）三角形ABC中，AC=BC,角A=30°，AB=2根号3，将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，
使这个30°角的两边分别与三角形的边AC,BC相交于点E,F,连接DE,DF,EF,且使DE始终与AB垂直，设AD=x,三角形DEF的面积为y.(1)画出符合条件的图形，写出与△ADE一定相似的三角形并说明理由；（2）EF与AB可能平行吗？若能，请求出此时AD的长；若不能请说明理由；
还要求Y与X的函数解析式，并写出自变量X的取值范围。当X为何值时，Y有最大值？最大值为多少？

Answer 1

提示：相似三角形的判定定理:
(1)两角对应相等两三角形相似：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
(2)两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似；
(3)三边对应成比例,两个三角形相似：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
1、△ABC中：边AC=BC,角A=30°，则角B=30°
△ADE中：DE垂直AB，则角ADE=90°
ED和FD是三角板中30°角的两个边，则角EDF=30°
△BFD中：角BDF=180°（AB是直线）-角EDF-角ADE=180°-90°-30°=60°
角BFD=180°（三角形内角和为180°）-角B-角BDF=180°-30°-60°=90°
△ADE和△BFD中，角A=角B=30°，角ADE=角BFD90°，由两角对应相等两三角形相似判定△ADE和△BFD相似。
2、EF与AB可能平行。
△ADE中，角A=30°，则AE=2DE（直角三角形中30°角对应的边长是斜边的1/2）
AE的平方=AD的平方+DF的平方（直角三角形斜边的平方=两直角边平方的和），AD=x（已知）
所以，AE=2x倍根号3,
BD=AB-AD=2倍根号3-x
△ADE和△BFD相似，则：
BD/AE=BF/AD，
得BF=（2倍根号3-x）/（2倍根号3）
假设EF与AB可能平行，三角形ABC中，AC=BC，那么就应该AE=BF
即2x倍根号3=（2倍根号3-x）/（2倍根号3）
解这个x的方程得x=2倍根号3/13，即AD=x=2倍根号3/13
（这里编辑不能插入数学符号，所以用文字描述，又不好看清楚，自己划个图，验算下就明白了，同时，题中的AB=2根号3还是AB=根号3？都不影响本题的解，只是AD长的值不一样，方法给你，结果你自己算）
晕，怎么还有个补充条件啊？修改下最后部分的提示：△DEF的面积用DF边为底边计算，在DF边上做垂线过E点，用前面三角形相似性和直角三角形30度角对应边是斜边长的一半，就可以算出面积Y是X的函数表达式