Question

如何用裂项法求数列的和

Answer 1

裂项求和与倒序相加、错位相减、分组求和等方法一样,是解决一些特殊数列的求和问题的常用方法.这些独具特点的方法,就单个而言,确实精巧,
　　例子：
　　求和：1/2+1/6+1/12+1/20
　　＝1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)
　　＝（1－1/2）+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)
　　＝1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5
　　＝1-1/5=4/5
　　在裂项求和中最常见的是已知an（数列）求和.一般在高二数学中存有,是一类规律性题目.
　　一、基本概念：
　　1、 数列的定义及表示方法：
　　2、 数列的项与项数：
　　3、 有穷数列与无穷数列：
　　4、 递增（减）、摆动、循环数列：
　　5、 数列{an}的通项公式an：
　　6、 数列的前n项和公式Sn:
　　7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：
　　8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：
　　二、基本公式：
　　9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
　　10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式；当d=0时,an是一个常数.
　　11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=
　　当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0）,Sn=na1是关于n的正比例式.
　　12、等比数列的通项公式：an= a1 qn-1 an= ak qn-k
　　(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)
　　13、等比数列的前n项和公式：当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
　　当q≠1时,Sn= Sn=
　　三、有关等差、等比数列的结论
　　14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列.
　　15、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则
　　16、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则
　　17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列.
　　18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列.
　　19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
　　{an bn}、 、 仍为等比数列.
　　20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.
　　21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.
　　22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d
　　23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
　　四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)
　　24、{an}为等差数列,则 (c>0)是等比数列.
　　25、{bn}（bn>0）是等比数列,则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列.
　　26.在等差数列 中：
　　（1）若项数为 ,则
　　（2）若数为 则,,
　　27.在等比数列 中：
　　（1） 若项数为 ,则
　　（2）若数为 则,
　　四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.关键是找数列的通项结构.
　　28、分组法求数列的和：如an=2n+3n
　　29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n
　　30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
　　31、倒序相加法求和：如an=
　　32、求数列{an}的最大、最小项的方法：
　　① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
　　② (an>0) 如an=
　　③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
　　33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求
　　(1)当 >0,d