Question

证明：（1+sin4θ-cos4θ）/（1+sin4θ+cos4θ)=2tanθ/(1-tanθ平方）

Answer 1

证明之前，先复习几个三角函数公式：
sin²α＋cos²α＝1
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos²α－sin²α＝2cos²α－1＝1－2sin²α
tan2α＝2tanα/(1－tan²α)

证明：
左边= (1+sin4θ-cos4θ)/(1+sin4θ+cos4θ) 【同乘以分子】
= (1+sin4θ-cos4θ)²/[(1+sin4θ)²-cos²4θ] 【sin²α＋cos²α＝1】
= (1+sin4θ)(1-cos4θ)/sin4θ(1+sin4θ)
= (1-cos4θ)/sin4θ
= [1-(1-2sin²2θ)]/2sin2θcos2θ 【cos2α＝1－2sin²α；sin2α＝2sinαcosα】
= sin2θ/cos2θ
= tan2θ
= 2tanθ/(1-tan²θ) 【tan2α＝2tanα/(1－tan²α)】
= 右边
证毕。

Answer 2

1+sin40-cos40=1+sin40-(1-2(sin20)^2)
=1+sin40-1+2(sin20)^2
=2sin20cos20+2(sin20)^2
=2sin20(cos20+sin20)

1+sin40+cos40=1+sin40+2(cos20)^2-1
=sin40+2(cos20)^2
=2cos20(sin20+cos20)

∴ (1+sin40-cos40)/(1+sin40+cos40)=[2sin20(cos20+sin20)]/2cos20(sin20+cos20)
=sin20/cos20
=tan20
=sin20/cos20=2sin0cos0/[(cos0)^2-(sin0)^2])
=(2sin0/cos0)/[(cos0)^2/(cos0)^2-(sin0)^2/(cos0)^2
=2tan0/(1-(tan0)^2)
即 (1+sin40-cos40)/(1+sin40+cos40)=2tan0/(1-(tan0)^2)