Question

旋转角速度矢量是旋度吗

Answer 1

我们在矢量场中取一个闭合回路  并规定一个正方向， 并定义该回路的环流量为矢量场在回路上的线积分



下面我们来定义旋度， 旋度是一个矢量， 记为 ． 在空间某点  处选取一个小面元 （模长为面元的面积， 方向为面元的一个法向量）， 令面元边界构成的回路为 ， 正方向由右手定则 判断． 要定义其  方向的分量， 就取  与  同向， 即


旋度的  分量定义类似．
　　 若矢量场分布连续且光滑， 则旋度处处存在且与回路的形状和坐标系的选取无关1． 所以选取任意方向的面元 ， 都有



直角坐标系中的旋度
　　 在直角坐标系中给出矢量场



在点  附近， 我们可以对场使用微分近似

图 1：直角坐标系中旋度的 z 分量
　　 要求  方向的旋度， 令闭合回路为正方形 -（图 1 ）， 延  方向的两条边的线积分仅由  贡献， 延  方向的两条边的线积分仅由  贡献， 所以整个环路的线积分为


所以旋度的  分量为


类似地， 我们可得  分量


所以类似叉乘的行列式表示（式 13 ）， 我们可以将旋度记为


现在我们知道为什么旋度要记为  了， 类比散度， 旋度可以从形式上理解为矢量算符  与矢量场  的叉乘．
　　 与梯度和散度不同的是， 以上定义的旋度运算只能对三维空间的矢量场作用．