已知a,b,c都是实数.求证：a^2+b^2+c^≥1/3(a^2+b^2+c^2)≥ab+bc+ac？
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a^2+b^2>=2ab,
b^2+c^2>=2bc,
a^2+b^2>=2ab,
所以(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(a^2+b^2)>=2ab+2bc+2ab
即2(a^2+b^2+c^2)>=2ab+2bc+2ab
所以3(a^2+b^2+c^2)>=2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2
所以a^2+b^2+c^2>=1/3(a+b+c)^2
(a+b+c)^2
=(2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2)
=(2ab+2bc+2ac)+1/2((a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(a^2+b^2))
>=(2ab+2bc+2ac)+ab+bc+ac
=3(ab+bc+ac)
所以1/3(a+b+c)^2>=ab+bc+ac
(当a=b=c时,取等),8,
b^2+c^2>=2bc,
a^2+b^2>=2ab,
所以(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(a^2+b^2)>=2ab+2bc+2ab
即2(a^2+b^2+c^2)>=2ab+2bc+2ab
所以3(a^2+b^2+c^2)>=2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2
所以a^2+b^2+c^2>=1/3(a+b+c)^2
(a+b+c)^2
=(2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2)
=(2ab+2bc+2ac)+1/2((a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(a^2+b^2))
>=(2ab+2bc+2ac)+ab+bc+ac
=3(ab+bc+ac)
所以1/3(a+b+c)^2>=ab+bc+ac
(当a=b=c时,取等),8,
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