Question

两道高二数学题

每题第一问说下答案就行，第二问给下具体过程，谢谢啦
1。一束光线从点F1(-1，0)出发，经直线l:2x-y+3=0上一点D反射后，恰好穿过点F2（1，0）。
（1）求以F1,F2为焦点且经过点D的椭圆C的方程。
（2）过椭圆C上一点M向短轴为直径的圆引两条切线，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q，求PQ的最小值
2.在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2根号2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O，椭圆x^2/a^2+y^2/9=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，
（1）。求圆C的方程
（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在，请求出Q坐标，若不存在，说明理由

Answer 1

1 (1)，所求以F1，F2为焦点且经过点D的椭圆C的方程为：
x^2/2+y^2=1。
(2)，以短轴为直径的圆O的方程为：x^2+y^2=1。
设M点坐标（x0，y0），则直线OM的斜率为：y0/x0，
由题意可知：OM垂直AB，
所以 直线AB的斜率为：-x0/y0。
直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q，要使PQ的长最小，
则直线AB的斜率为：-1或1，即 x0=y0 或 x0=-y0。
代入椭圆C的方程：x^2/2+y^2=1，得：
x0=y0=√6/3，或 x0=y0=-√6/3，
或 x0=√6/3，y0=-√6/3，或 x0=-√6/3，y0=√6/3。
当x0=y0=√6/3时，直线AB的方程为：x+y=√6/2。
P、Q的坐标为（√6/2，0），（0，√6/2）。
此时，|PQ|=√3。
同理可知：x0=y0=-√6/3，或 x0=√6/3，y0=-√6/3，
或 x0=-√6/3，y0=√6/3时，|PQ|=√3。
所以 PQ的最小值为：√3。

另解：过M（x0，y0）点的圆O的切线方程为：
(x-x0)^2+(y-y0)^2=x0^2+y0^2-1 ①
圆O的方程为：x^2+y^2=1 ②
①-②，化简得：x0x+y0y=1，
即为直线AB的方程。
所以 P、Q的坐标为（1/x0，0），（0，1/y0），
|PQ|^2=(1/x0)^2+1/y0)^2>=2|1/x0y0|,
当且仅当|x0|=|y0|时，取等号。
将|x0|=|y0|代入椭圆C的方程：x^2/2+y^2=1，得：
|x0|=|y0|=√6/3，此时|PQ|^2=3。
所以 PQ的最小值为：√3。

2 (1)，所求圆C的方程为：(x-2)^2+(y-2)^2=8。
(2)，椭圆x^2/a^2+y^2/9=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，
则：2a=10， a=5。
所以椭圆方程为：x^2/25+y^2/9=1。
椭圆右焦点F(4，0)，|OF|=4。
设圆C上存在异于原点的点Q坐标为(a，b)，(ab不=0)
点Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长。
则：(a-2)^2+(b-2)^2=8 ①，且 (a-4)^2+b^2=16 ②。
①-②，化简得：a=b，
代入①，得：a=4 ，b=4 或 a=0，b=0（舍去）
所以存在点Q(4，4)，使点Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长。

Answer 2

1 (1)，所求以F1，F2为焦点且经过点D的椭圆C的方程为：
x^2/2+y^2=1。
(2)，以短轴为直径的圆O的方程为：x^2+y^2=1。
设M点坐标（x0，y0），则直线OM的斜率为：y0/x0，
所以：OM垂直AB，
所以 直线AB的斜率为：-x0/y0。
直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q，要使PQ的长最小，
则直线AB的斜率为：-1或1，即 x0=y0 或 x0=-y0。
代入椭圆C的方程：x^2/2+y^2=1，得：
x0=y0=√6/3，或 x0=y0=-√6/3，
或 x0=√6/3，y0=-√6/3，或 x0=-√6/3，y0=√6/3。
当x0=y0=√6/3时，直线AB的方程为：x+y=√6/2。
P、Q的坐标为（√6/2，0），（0，√6/2）。
此时，|PQ|=√3。
同理可知：x0=y0=-√6/3，或 x0=√6/3，y0=-√6/3，
或 x0=-√6/3，y0=√6/3时，|PQ|=√3。
所以 PQ的最小值为：√3。

2 (1)，所求圆C的方程为：(x-2)^2+(y-2)^2=8。
(2)，椭圆x^2/a^2+y^2/9=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，
则：2a=10， a=5。
所以椭圆方程为：x^2/25+y^2/9=1。
椭圆右焦点F(4，0)，|OF|=4。
设圆C上存在异于原点的点Q坐标为(a，b)，(ab不=0)
点Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长。
则：(a-2)^2+(b-2)^2=8 ①，且 (a-4)^2+b^2=16 ②。
①-②，化简得：a=b，
代入①，得：a=4 ，b=4 或 a=0，b=0（舍去）
存在点Q(4，4)，使点Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长。

Answer 3

1.x方除以2在+Y方=1