Question

求定积分∫下限-π 上限π （x^2sinx）/(x^2+1)dx？

Answer 1

∫(-π ,π )（x^2sinx）/(x^2+1)dx
=∫(-π ,π )[（x^2+1)sinx-sinx]/(x^2+1)dx
=∫(-π ,π )sinxdx-∫(-π ,π)sinx/ (x^2+1)dx
观察易知：积分区间关于原点对称,且sinx/ (x^2+1)是奇函数 sinx是奇函数
所以∫(-π ,π)sinx/ (x^2+1)dx =0 ∫(-π ,π )sinxdx=0
所以这个定积分的结果是0,8,分子：x²是偶函数，sinx是奇函数，所以x²sinx是奇函数，正如奇数乘以偶数等于奇数
分母：x² + 1是偶函数
分式：x²sinx/(x² + 1)是奇函数，(偶数 · 奇数)/偶数 = 奇数
积分区间关于原点对称，而且被积函数是奇函数
所以根据奇函数定积分性质，这个定积分等于0...,3,这个是奇函数，积分区域对称的话，定积分就等于0啦。,0,