Question

如果X∈R那么函数f(x)=1-2sin+x+sin2x最小值是?

Answer 1

这个问题的初等解法需要使用基本不等式的推广。

先统一自变量为sin(x/2)，

再利用基本不等式

未完待续

详情如图所示:

供参考，请笑纳。

最小值是:1 - 3√3/2.

Answer 2

我们可以对$f(x)$求导数并令其为0，以求得函数的极值点。
$$f'(x)=-2\cos x+2\cos 2x=0$$
化简得到：
$$\cos x=\cos 2x$$
根据三角恒等式$\cos 2x=2\cos^2 x-1$，可得
$$\cos x=2\cos^2 x-1$$
移项化简得
$$\cos^2 x=\frac{3}{4}$$
由于$-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}$，所以$\cos x\geq 0$，因此有
$$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
于是
$$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi, k\in \mathbb{Z}$$
现在我们需要判断这些极值点是否为$f(x)$的最小值。我们可以计算它们的函数值，然后找到最小值。
$f(\frac{\pi}{6})=1-2\sin\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$
$f(\frac{7\pi}{6})=1-2\sin\frac{7\pi}{6}+\sin\frac{7\pi}{3}=\frac{1}{2}$
$f(-\frac{5\pi}{6})=1-2\sin-\frac{5\pi}{6}+\sin-\frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}$
$f(\frac{11\pi}{6})=1-2\sin\frac{11\pi}{6}+\sin\frac{11\pi}{3}=\frac{7}{2}$
因此，$f(x)$的最小值为$\frac{1}{2}$。