Question

高中数学题：设函数f(x)对任意x、y属于实数R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x<0时，f(x)<0，f(1)=-2。(1)求证f(x

高中数学题：设函数f(x)对任意x、y属于实数R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x<0时，f(x)<0，f(1)=-2。(1)求证f(x)是奇函数 （2）当-2≤x≤2时，f（x）是否有最大值或最小值 如果有 求出最值 如果没有 说明理由
有一个地方错了 应该是f（-1）=-2

Answer 1

1.首先令x=0，y=0，有
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，解出f(0)=0
然后令y=-x，有f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
所以f(-x)=-f(x)
所以函数是奇函数
2.x<0时，f(x)<0
当x>0时，有-x<0
所以f(-x)<0
因为函数是奇函数，所以f(-x)=-f(x)<0，所以f(x)>0
设-2<=x1<x2<=2
有f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
因为x2-x1>0
所以f(x2-x1)>0
所以f(x2)-f(x1)>0
所以函数在-2≤x≤2上是增函数
当x=-2时有最小值，当x=2时有最大值
f(-2)=f(-1-1)=f(-1)+f(-1)=2*（-2）=-4
f(2)=-f(-2)=4
所以最小值是-4，最大值是4

我觉得题里得f(1)=-2肯定是f(-1)=-2，楼主仔细看下题吧

Answer 2

（1）令x=y=0，则由f(x+y)=f(x)+f(y)可知：f(0)=f(0)+f(0)得f(0)=0
令x= -y，则由f(x+y)=f(x)+f(y)可知：f(x-x)=f(x)+f(-x)=0，故f(x)=-f(-x)
所以f(x)是奇函数
但是此题自相矛盾了，因为且x<0时，f(x)<0，而f(x)是奇函数，所以x>0时，f(x)>0
但是题目中却说f(1)=-2，即x>0时，f(x)<0,着不矛盾了？

Answer 3

令X和Y都等于0，可以得到f(0)=0.然后令Y=-x，也很容易得到f(0)=f(x)+f(-x),f(x)=f(-x), 所以是奇函数。（2）另x1<x2,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2),因为x<0时，f(x)<0，所以f(x1-x2)<0，所以f(x1)<f(x2),所以该函数是增函数所以有最值，f(2)=f(1+1）=f(1)+f(1)=-4.f(-2)=-f(2)=4.

你这个条件是不是抄错了 ，且x<0时，f(x)<0， 就在这里，看看。是不是f(x)>0我觉得是减函数还符合题意

Answer 4

第一问，令X和Y都等于0，可以得到f(0)=0.然后令X=1，Y=-1，也很容易得到f(0)=f(1)+f(-1),根据奇函数的定义可以得到第一问的结论。
第二问，我们实现证明了第一问，先不管有没有用，先记下这个条件。
由于x<0时，f(x)<0，那么根据第一问的结论，又因为奇函数的性质，我们可以得到当X大于0时，函数大于0。并且符号相反，函数值相反。
兄弟，你的题目是不是有问题啊？如果f(1)=-2，那么f(-1)应该是2，那么就与x<0时，f(x)<0相悖了啊··