Question

几何数学求解

在三棱锥A-BCD中三角形ABD和三角形BCD为正三角形且二面角A-BD-C为直二面角
1求直线BD与面ACD所成角的余弦值
2求二面角D-AC-B所成的角的余弦值
3求点B到面ACD的距离

Answer 1

取BD的中点M,以MC,MD,MA为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则设BD=2有
B(0,-1,0),D(0,1,0),C(根3,0,0),A(0,0,根3)
BD=(0,2,0),面ACD的法向量为(x,y,z)
(x,y,z)*(根3,-1,0)=0
(x,y,z)*(根3,0,-根3)=0
取法向量为:(1,根3,1)
所以线面成角的正弦值为=2根3/2*根5=根15/5
所求余弦值为根10/5
同理求得面ABC的法向量为(1,-根3,1)
两个法向量成角的余弦值为:-1/5
所求为-1/5
B到ACD的距离为AD*(ACD的法向量)/(法向量的模长)=2根15/5