Question

如何用向量法证明两条直线相交？

Answer 1

举一个实例。把｛2x+3y-4z+2=0 ；x+2y+3z-1=0 化为对称式 。
方法一：平面 2x+3y-4z+2=0 的法向量为 n1 =（2，3，-4），
平面 x+2y+3z-1=0 的法向量为 n2 =（1，2，3），
因此直线的方向向量为 v = n1×n2 =（17，-10，1）（向量叉乘会吧？）
取 x = 10，y = -6，z = 1 ，知直线过点 P（10，-6，1），
所以直线的对称式方程为 (x-10)/17 = (y+6)/(-10) = (z-1)/1 。

方法二：把 z 当已知数，可解得 x = 17z-7 ，y = 4-10z ，
由此得 (x+7)/17 = (y-4)/(-10) = z ，把最后的 z 改写成 (z-0)/1 ，就得结果。

方法三：取 z 的两个值如 z1 = 1 ，z2 = 2，
代入原方程可知直线过 A（10，-6，1），B（27，-16，2），
所以直线的方向向量为 AB =（27-10，-16+6，2-1）=（17，-10，1），
所以直线的方程为 (x-27)/17 = (y+16)/(-10) = (z-2)/1 。
（三个方法得到的结果不一样是吧？？这只是形式上不同，本质上它们是同一条直线）