Question

例1:+lim_(x→0)(√(1+5x)-√(1-3x))/(x^2+2x)+等价怎么做？

Answer 1

x→0时分子有悔扮森缺察理化
原式=8x/{x(x+2)[√碧亩(1+5x)+√(1-3x)]}
→8/[2×(1+1)]
=2.
解2 原式→（5x/2+3x/2）/(2x)
=2.

Answer 2

我们可以先利用一些基本极限公式简化被除数中的根式，然后再使亏唤用泰勒樱信展开求解。
首先，将被除数中的根式按照公式 a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 化简：
√(1+5x) - √(1-3x) = [(1+5x) - (1-3x)] / (√(1+5x) + √(1-3x))
= (8x) / (√(1+5x) + √(1-3x))
将化简后的被除数代入原式，得：
lim_(x→0)(8x) / ((x^2+2x) * (√(1+5x) + √(1-3x)))
接下来，我们可以使用泰勒展开的方法对分母的根式进行展开：
√(1+5x) ≈ 1 + (5/2)x + O(x^2)
√(1-3x) ≈ 1 - (3/2)x + O(x^2)
代入原式，得：
lim_(x→0)(8x) / ((x^2+2x) * (1 + (5/2)x + 1 - (3/2)x + O(x^2)))
= lim_(x→0)(8x) / ((x^2+2x) * (2 + x + O(x^2)))
将分母中的最高次项相同的项相消，得：
lim_(x→脊空轮0)(8 / (2 + x + O(x))) = 4
因此，+lim_(x→0)(√(1+5x)-√(1-3x))/(x^2+2x)+在 x 接近 0 的情况下的等价值为 4。