Question

高一向量两道小题,在线求解

1、已知向量a,b,c满足a+b+c=0,模分别为a=1,b=√2,c=2,求向量a,b夹角余弦值

2、已知a,b是两个互相垂直的单位向量,且向量c*向量a=向量c*向量b,c的模为2
则对t大于0, | c+ta+b/t) |的最小值为多少?

第2题如果实力有限可选做,但不能乱来.

过程,谢谢!

Answer 1

1 a+b+c=0,推出a b c 构成三角形
cos<a,b>=(a^2+b^2-c^2)/2ab=-1/2√2

2 | c+ta+b/t) |≥2√(c^2+a^2t^2+b^2/t^2+2act+2bc/t+2ab)≥2√(c^2+2ab+2√4ab+2ab)[在a=b, a^2t^2=b^2/t^2时取等号]=2√(4+4ab+4√ab)=4
a⊥b推出ab=0
即t=1or-1时 有最小值4

Answer 2

【一】由题设三个向量a,b,c满足a+b+c=0.∴a+b=-c.===>(a+b)²=(-c)²===>a²+2ab+b²=c².===>1+2+2ab=4.===>ab=1/2.再由cos＜a,b＞=ab/(|a|×|b|)=(1/2)×1/(√2)=1/(2√2).∴cos＜a,b＞=(√2)/4.【二】易知，a·b=0.且|a|=|b|=1.|c|=2.由c*a=c*b===>|c|×|a|cos＜c,a＞=|c|×|b|cos＜c,b＞.===>cos＜c,a＞=cos＜c,b＞.∴向量c与两个垂直的单位向量的夹角相等，数形结合可知，其夹角或为45º，或为135º.∴c*a=c*b=2cos＜c,a＞=±√2.∴W=|c+ta+(b/t)|²=[c+ta+(b/t)]²=c²+t²a²+(b²/t²)+2c(ta)+(2cb/t)+2(tab/t)=4+t²+(1/t²)+2ca[t+(1/t)]=[t+(1/t)]²+2ca[t+(1/t)]+2.令t+(1/t)=k,则由t＞0可知，k≥2.且W=k²+2cak+2=(k+ca)²+2-(ca)²=(k+ca)².即|c+ta+(b/t)|=|k+ca|.(k≥2).(①)当ca=√2时，易知|c+ta+(b/t)|min=2+√2.(②)当ca=-√2时，易知|c+ta+(b/t)|min=2-√2.

Answer 3

第一题很简单啊
由a+b+c=0，我们可以将其看做一个封闭的三角形，△ABC，
向量a,b夹角可以看成角C所对应的外角，可以利用余弦定理先求出交C的余弦值，
则向量a,b夹角与角C互补

第二题的题意到是很清楚，只是担心问题有误，白费力气啊