Question

设f(x)，g(x)都是可导函数，且|f(x)|＜g(x)证明：当x＞a时，|f(x)-f(a)|≤g(x)-g(a)

Answer 1

【答案】：证法1 利用单调性
由题设条件|f'(x)|＜g'(x)可得
-g'(x)＜f'(x)＜g'(x)
设F(x)=[g(x)-g(a)]-[f(x)-f(a)]，可知F(a)=0
F'(x)=g'(x)-f'(x)≥0因此F(x)当x＞a时为非减函数，当x＞a时，有
F(x)≥F(a)=0即f(x)-f(a)≤g(x)-g(a)
同理令G(x)=[g(x)-g(a)]+[f(x)-f(a)]，可证当x＞a时，-[g(x)-g(a)]≤f(x)-f(a)故知当x＞a时，有
|f(x)-f(a)|≤g(x)-g(a)