Question

求第二十题的解析

Answer 1

20.(1)取PA的中点E,连DE.因DA=DP,故DE⊥PA.
平面PAD⊥平面ABD于AD,AB⊥AD,故AB⊥平面PAD,于是AB⊥DE,
所以DE⊥平面PAB.
延长AP至Q,使PQ=AP,又AP=DP,故DQ⊥DA.
所以DQ⊥平面ABD.
分别以DA,DC,DQ为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设A(4,0,0),Q(0,0,4h),h>0,则
B(4,8,0),C(0,4,0),P(2,0,2h).
AE:EQ=1:3,故向量DE=(3/4)DA+(1/4)DQ=(3/4)*(4,0,0)+(1/4)*(0,0,4h)=(3,0,h).
向量PB=(4,8,0)-(2,0,2h)=(2,8,-2h),
向量BC=(0,4,0)-(4,8,0)=(-4,-4,0).
设平面PBC的法向量a=(m,1,n),则
向量a*PB=2m+8-2hn=0,且a*BC=-4m-4=0,
解得m=-1,n=3/h,
a=(-1,1,3/h),
向量a*DE=-3+3=0,
所以平面PAB⊥平面PBC.
(2)AD=AP时△PAD是等边三角形，h=√3/2，向量DE=(3,0,√3/2),
向量PA=(4,0,0)-(2,0,√3)=(2,0,-√3),
向量AC=(0,4,0)-(4,0,0)=(-4,4,0),
设平面PAC的法向量为b=(p,1,q),则
向量b*PA=2p-√3q=0,且b*AC=-4p+4=0,
解得p=1,q=2/√3.b=(1,1,2/√3),
|DE|=√(9+3/4)=√39/2,|b|=√(2+4/3)=√(10/3),
向量b*DE=4,
cos<b,DE>=4/[√39/2*√(10/3)=8/√130=4√130/65，为所求。