Question

绕x， y， z轴旋转体积公式？

Answer 1

旋转体体积公式是V=π∫［a,b]f(x)^2dx。

绕y轴旋转体积公式同理，将x,y互换即可，V=π∫［a,b]φ（y)^2dy。

或许你说的是V=2π∫［a,b]y*f(y)dy,也是绕x轴旋转体积。

旋转体的体积等于上半部分旋转体体积的2倍

V=2∫(0,R)π[(x+b)^2-(-x+b)^2]dy。

=8bπ∫(0,R)xdy。

令x=Rcosa,y=Rsina,(a∈[0,π/2])。

V=8bπ∫(0,π/2)Rcosa*Rcosada。

=4bR^2π∫(0,π/2)(cos2a+1)da。

=4bR^2π[a+sin2a/2]|(0,π/2)。

=4πbR^2(π/2)。

=2bπ^2R^2。

Answer 2

绕三个坐标轴进行旋转的体积公式可以通过积分计算得到。下面我将分别介绍绕x、y和z轴旋转的体积公式，并给出详细的推导过程。
1. 绕x轴旋转体积公式：
设曲线函数为y=f(x)，该曲线在x轴上的取值范围为[a, b]，将该曲线绕x轴旋转得到的曲面为S，其体积为Vx。
首先，我们将曲线函数写成参数方程形式，即：
x = t，
y = f(t)。
接下来，我们考虑曲线上一点P，它的坐标是(x, y) = (t, f(t))。
将P绕x轴旋转后，得到的点坐标为：
x' = t，
y' = 0，
z' = f(t)。
由于旋转后的点坐标(x', y', z')表示的是一个圆锥上的点，我们可以使用圆锥的体积公式来计算该点产生的体积微元。体积微元dV可以表示为：
dV = π * y'^2 * dx' = π * f(t)^2 * dt。
然后，我们对整个曲线上的点进行积分，即对t从a到b进行积分。得到的结果就是绕x轴旋转的体积Vx：
Vx = ∫[a,b] (π * f(t)^2) dt。
2. 绕y轴旋转体积公式：
与绕x轴旋转类似，设曲线函数为x=g(y)，该曲线在y轴上的取值范围为[c, d]，将该曲线绕y轴旋转得到的曲面为S，其体积为Vy。
同样地，我们将曲线函数写成参数方程形式，即：
x = g(t)，
y = t。
类似于之前的推导，对于曲线上的点P(x, y) = (g(t), t)，绕y轴旋转后得到的点坐标为：
x' = g(t)，
y' = t，
z' = 0。
根据圆锥的体积公式，该点产生的体积微元dV为：
dV = π * x'^2 * dy' = π * g(t)^2 * dt。
对整个曲线上的点积分，即对t从c到d进行积分，得到绕y轴旋转的体积Vy：
Vy = ∫[c,d] (π * g(t)^2) dt。
3. 绕z轴旋转体积公式：
设曲线函数为r=f(θ)，该曲线在极坐标中的取值范围为[α, β]，将该曲线绕z轴旋转得到的曲面为S，其体积为Vz。
对于极坐标下的点P(r, θ)，绕z轴旋转后得到的点坐标为：
x' = r * cos(θ)，
y' = r * sin(θ)，
z' = 0。
同样地根据圆锥的体积公式，该点产生的体积微元dV为：
dV = π * (r * cos(θ))^2 * r * dθ = π * r^3 * cos^2(θ) * dθ。
通过对整个曲线上的点P进行积分，即对θ从α到β进行积分，得到绕z轴旋转的体积Vz：
Vz = ∫[α,β] (π * r^3 * cos^