Question

用初等行变换求矩阵 A= 2 2 3 3 1 -1 1 -1 2 1 1 的逆矩阵 A^(-1）

Answer 1

首先，将矩阵 A 扩展成一个增广矩阵 [A | I]，其中 I 是单位矩阵：
[2 2 3 | 1 0 0]
[3 1 -1 | 0 1 0]
[1 -1 2 | 0 0 1]
接下来，对增广矩阵进行初等行变换，使左边的矩阵变成单位矩阵：
1. 将第一行除以 2：
[1 1 3/2 | 1/2 0 0 ]
[3 1 -1 | 0 1 0 ]
[1 -1 2 | 0 0 1 ]
2. 将第二行减去 3 倍的第一行：
[1 1 3/2 | 1/2 0 0 ]
[0 -2 -13/2| -3/2 1 0 ]
[1 -1 2 | 0 0 1 ]
3. 将第三行减去第一行：
[1 1 3/2 | 1/2 0 0 ]
[0 -2 -13/2| -3/2 1 0 ]
[0 -2 1/2 | -1/2 0 1 ]
4. 将第二行除以 -2：
[1 1 3/2 | 1/2 0 0 ]
[0 1 13/4| 3/4 -1/2 0 ]
[0 -2 1/2 | -1/2 0 1 ]
5. 将第三行加上 2 倍的第二行：
[1 1 3/2 | 1/2 0 0 ]
[0 1 13/4| 3/4 -1/2 0 ]
[0 0 17/8| 1/8 -1/2 1 ]
6. 将第三行除以 17/8：
[1 1 3/2 | 1/2 0 0 ]
[0 1 13/4| 3/4 -1/2 0 ]
[0 0 1 | 1/17 -4/17 8/17]
现在，左边的矩阵已经变成了单位矩阵，右边的矩阵就是矩阵 A 的逆矩阵 A^(-1)：
A^(-1) = [1/17 -4/17 8/17
3/17 -5/17 3/17
2/17 2/17 -3/17]