Question

把函数f(x)=ln(x+3)-ln(x-3)展成带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式？

Answer 1

首先，将f(x)变形为：

f(x) = ln((x+3)/(x-3))

接着，对其进行n次求导并在x=0处展开可得n阶麦克劳林公式：

f(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)/2!)x^2 + ... + (f⁽ⁿ⁾(0)/n!)xⁿ + Rₙ(x)

其中，

f(0) = ln(3/(-3)) = ln(-1) = iπ

f'(x) = 6/(x²-9)

f'(0) = 1/3

f''(x) = 24x/(x²-9)²

f''(0) = 0

f⁽³⁾(x) = 72(x²+3)/(x²-9)³

f⁽³⁾(0) = 8

以此类推，可以得到n阶麦克劳林公式：

f(x) ≈ iπ + (x/3) - (x²/54) + (x⁴/1620) - ... + (-1)ⁿ⁺¹(xⁿ/n!) + Rₙ(x)

其中余项为：

Rₙ(x) = (f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)/n⁺¹) xⁿ⁺¹

其中c是介于0和x之间的某一点。