Question

2.若f(x)对于任意实数x恒有 3f(x)--|||-2f(-x)=5x+1, 则 f(x)=？

Answer 1

首先，我们注意到方程中的绝对值符号。我们可以通过对x的正负值分别讨论来处理绝对值。记f(x) = y，那么f(-x) = f(-(x)) = f(x)。

现在我们根据x的正负值分别讨论：

• 当x > 0时，我们有：
  3f(x) - |2f(-x)| = 5x + 1

  将f(-x)用y表示，变为：
  3f(x) - |2y| = 5x + 1

• 当x < 0时，我们有：
  3f(x) - |-2f(-x)| = 5x + 1

  将f(-x)用y表示，变为：
  3f(x) - |2y| = 5x + 1

请注意，在两种情况下，我们都得到了相同的方程：3f(x) - |2y| = 5x + 1。

现在我们来解这个方程：

当3f(x) - |2y| = 5x + 1时，我们将|2y|分两种情况讨论：

a) 当2y ≥ 0时，|2y| = 2y，那么方程变为：
3f(x) - 2y = 5x + 1

b) 当2y < 0时，|2y| = -2y，那么方程变为：
3f(x) + 2y = 5x + 1

我们得到两个方程，但是我们只需要找到一个关于f(x)的表达式。为了解决这个问题，我们需要查看f(x)的定义域，以确定f(x)的正负号。

根据原始的函数方程3f(x) - |2f(-x)| = 5x + 1，我们可以看出当x < 0时，f(x) > 0，因为|2f(-x)| ≥ 0，而5x + 1 < 0。同样地，当x > 0时，f(x) < 0，因为5x + 1 > 0。

现在，我们将之前得到的两个方程分别应用到这两个情况：

a) 当x < 0时，我们得到：
3f(x) + 2y = 5x + 1
3f(x) + 2y = 5x + 1
3f(x) = 5x + 1 - 2y

由于x < 0时，f(x) > 0，所以3f(x) > 0。这意味着5x + 1 - 2y > 0，即：
5x + 1 > 2y

b) 当x > 0时，我们得到：
3f(x) - 2y = 5x + 1
3f(x) - 2y = 5x + 1
3f(x) = 5x + 1 + 2y

由于x > 0时，f(x) < 0，所以3f(x) < 0。这意味着5x + 1 + 2y < 0，即：
5x + 1 < -2y
-5x - 1 > 2y

现在我们来比较这两个不等式：

• 5x + 1 > 2y

• -5x - 1 > 2y

这两个不等式无法同时成立。考虑到这一点，我们可以得出结论，这个函数方程在实数范围内没有解。

因此，给定的条件下，这个函数方程无解。