Question

初中几何压轴题求解

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是射线AB上的一点.，AB=AC，O是BC中点，连接DO、AO，点G是OD中点.连接AG交B0于点H，连接BG，若∠BGA=90°，求证：AH=2BG+BH倍长中线后也难以证明

Answer 1

首先，连接OC，可以发现∠COA=∠CBO=45°，所以∠ABC=2×45°=90°，所以四边形BGAO是一个矩形。
因为D是射线AB上的一点，所以AB=AD。
考虑三角形AOD和BHG：
∠OAG=∠BAG=∠BGO=90°，所以OA∥BG。
∠OAH=∠GHB=45°，所以AH=BH。
因为G是OD的中点，所以GO=GD。
又因为AB=AD，所以∠ODA=∠OAB=45°，所以三角形OBD是等腰直角三角形，所以BO=BD。所以B0是三角形ABB0的中线，所以AB=2B0。
在四边形BGAO中，因为OA∥BG，所以∠BGA=180°-∠OGA=90°，所以GA=AG=OB=BC/2。
所以BH=AH=OB+BG=BC/2+BC/4=3BC/4，所以BG=BH/3。
由三角形AGH和BHG相似，可得AH/HB=2，即AH=2BG+BH。
证毕。