Question

证明，n阶矩阵A可逆的充要条件是A的特征值全不为零。

Answer 1

由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：
1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。
证明：若 ， 则有
∴λ＞0
反之，必存在U使
即
有
这就证明了A正定。
由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。
证明：A正定
二次型 正定
A的正惯性指数为n
3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）。
证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使
令 则
令 则
反之，
∴A正定。
同理可证A为半正定时的情况。
4．n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素 ，且 。
证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定
∴ 是正定二次型
现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有
∴
∴A正定
∴存在可逆矩阵C ，使
5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。
证明：必要性：
设二次型 是正定的
对每个k,k=1,2,…,n,令
，
现证 是一个k元二次型。
∵对任意k个不全为零的实数 ，有
∴ 是正定的

∴ 的矩阵

是正定矩阵

即
即A的顺序主子式全大于零。

充分性：

对n作数学归纳法

当n=1时，
∵ ， 显然 是正定的。

假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。

令 ， ，

∴A可分块写成
∵A的顺序主子式全大于零

∴ 的顺序主子式也全大于零

由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使
令
∴
再令 ，

有
令 ，

就有
两边取行列式，则
由条件 得a＞0

显然
即A合同于E ，

∴A是正定的。

三． 负定矩阵的一些判别方法

1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。

2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。

3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足，即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。
由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。

Answer 2

必要性：
A可逆，则Ax=0没有非零解，即对任意非零p，均有Ap≠0*p，从而A的特征值不包含0
充分性：
A不含特征值0，即对于任意非零p，均有Ap≠0*p，从而Ax没有非零解，即A可逆

Answer 3

很简单的 如果有一个为零的话 那么A的行列式为零 从而A不可逆 与题设矛盾 所以都不能为零
嘿嘿 本人qq597293063 有机会可以切磋切磋哦