Question

一道积分的题目

2·x
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 2
(x + x + 1)

求这个函数的积分，第三行的两个2分别是x和整个括号的平方。

解答好的追加悬赏分。

Answer 1

说明：看不清楚，意思好像是求“∫2xdx/(x²+x+1)²”，对吧？解法如下。
解：原式=∫(2x+1-1)dx/(x²+x+1)²
=∫d(x²+x+1)/(x²+x+1)²-∫dx/(x²+x+1)²
=-1/(x²+x+1)-∫dx/[(x+1/2)²+3/4]²
设x+1/2=(√3/2)tant，则dx=(√3/2)sec²tdt，t=arctan[(2x+1)/√3]，sin(2t)=√3(2x+1)/(x²+x+1)
∴原式=-1/(x²+x+1)-∫(√3/2)sec²tdt/[(3/4)sec²t]²
=-1/(x²+x+1)-(8√3/9)∫cos²tdt
=-1/(x²+x+1)-(4√3/9)∫[1+cos(2t)]dt
=-1/(x²+x+1)-(2√3/9)[2t+sin(2t)]+C (C是积分常数)
=-1/(x²+x+1)-(2√3/9){2arctan[(2x+1)/√3]+√3(2x+1)/(x²+x+1)}+C
=-(4x+5)/[3(x²+x+1)]-(4√3/9)arctan[(2x+1)/√3]+C。