Question

初三这道题怎么做？

求解

Answer 1

(1)A,M,B,C四点共圆，AC=CM,
所以∠CAM=∠CMA=∠ABC=54°，
于是∠ACM=180°-54°×2=72°。
(2)△ABC是圆O的内接三角形，∠ACB=90°，
所以O是AB的中点，连OC,则OC=OB,
∠OCB=∠OBC=∠CAM=∠CBN,
所以OC∥BN,
CN是圆O的切线，
所以OC⊥CN,
所以BN⊥CN.
(3)由勾股定理，AB=5,
cosABC=BC/AB=3/5,
AM=2AC*cosABC=24/5,∠AMB=90°，
所以MB=√(AB^2-AM^2)=7/5.

Answer 2

由题可知AB是圆直径

1.∠ABC和∠AMC是圆弧AC所对的圆周角，所以∠AMC=∠ABC=54°，在△AMC中，AC=CM，即△AMC为等腰三角形，所以∠AMC=∠MAC=54°，所以∠ACM=180°-54°-54°=72°

2.连接OC,OM,则有△AOC≌△MOC(SSS,OA=OM,OC=OC,AC=CM),

这里有两种方法:

第一种:根据全等可以得出∠ACO=∠MCO,延长CO交AM于E,则CE是∠ACM的角平分线，而△ACM是等腰三角形，所以根据等腰三角形三线合一，可以得出CE⊥AM,又因为AB是直径，所以∠AMB=90°，即AM⊥MN,所以CE∥MN,C是圆切点，CN⊥CE,即CN⊥BN

第二种方法:根据∠CAO=∠CMO=∠OCM，∠CAM=∠CBN,∠BAM=∠BCM,可以得出∠NBC=∠OCB,即可证明OC∥BN.再根据切点即可证明BN⊥CN,这个题就是要想办法证明OC和MN平行

3.在直角△ABC中，sin∠ABC=AC/AB=4/5，又因为∠AMC=∠ABC，所以在直角△CEM中，sin∠AMC=CE/CM=4/5 ，求得CE=3.2，所以OE=CE-OC=3.2-2.5=0.7，根据第二问可知E为AM中点，所以OE是△AMB的中位线，所以MB=2OE=1.4

也可以设OE=x,

在直角△AEC中，根据勾股定理有AE²=4²-(2.5-x)²

在直角△AEO中，根据勾股定理有AE²=2.5²-x²

联立两式解得x=0.7，然后根据中位线定理就可以得出MB=1.4

Answer 3

(1) 角ABC = 54°，角ACB = 90°，可以计算出角ACM 的度数。由于三角形ABC是QO的内接三角形，角ACB = 90°，所以角ACM + 角ABC = 90°。将已知的角ABC = 54°代入，可以得到角ACM = 90° - 54° = 36°。
(2) 猜想 BN 与 CN 的位置关系：根据题目描述，点M在QO上，且AC=CM。连接AM并延长MB交过点C的切线于点N。根据三角形的性质，在直角三角形ABC中，角ACB = 90°，所以角NCA = 90°。由于MB是延长线，可以猜想BN与CN垂直，即角BCN = 90°。
理由：如果BN与CN不垂直，假设角BCN不等于90°，那么三角形BCN中的角BCN + 角BCN + 角N = 180°，即2角BCN + 角N = 180°。然而，根据角ACB = 90°和角NCA = 90°，可以得到角BCN + 角N = 180°。这两个等式矛盾，因此可以猜想BN与CN垂直，即角BCN = 90°。
(3) 若AC=4，BC=3，求MB的长度：根据题目描述，AC=CM，所以AC=4。由于三角形ABC是QO的内接三角形，角ACB = 90°。可以应用勾股定理来求解MB的长度。根据勾股定理，有AB² = AC² + BC²，代入已知值得到AB² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25，所以AB = 5。因为AC = CM，所以MC = 4。根据三角形AMC的直角三角形性质，可以计算出MB的长度：MB² = AC² + MC² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32，所以MB = √32 = 4√2。
希望这些解答对您有所帮助！如果您有任何其他问题，请随时提问。