所以∠CAM=∠CMA=∠ABC=54°,
于是∠ACM=180°-54°×2=72°。
(2)△ABC是圆O的内接三角形,∠ACB=90°,
所以O是AB的中点,连OC,则OC=OB,
∠OCB=∠OBC=∠CAM=∠CBN,
所以OC∥BN,
CN是圆O的切线,
所以OC⊥CN,
所以BN⊥CN.
(3)由勾股定理,AB=5,
cosABC=BC/AB=3/5,
AM=2AC*cosABC=24/5,∠AMB=90°,
所以MB=√(AB^2-AM^2)=7/5.
由题可知AB是圆直径
1.∠ABC和∠AMC是圆弧AC所对的圆周角,所以∠AMC=∠ABC=54°,在△AMC中,AC=CM,即△AMC为等腰三角形,所以∠AMC=∠MAC=54°,所以∠ACM=180°-54°-54°=72°
2.连接OC,OM,则有△AOC≌△MOC(SSS,OA=OM,OC=OC,AC=CM),
这里有两种方法:
第一种:根据全等可以得出∠ACO=∠MCO,延长CO交AM于E,则CE是∠ACM的角平分线,而△ACM是等腰三角形,所以根据等腰三角形三线合一,可以得出CE⊥AM,又因为AB是直径,所以∠AMB=90°,即AM⊥MN,所以CE∥MN,C是圆切点,CN⊥CE,即CN⊥BN
第二种方法:根据∠CAO=∠CMO=∠OCM,∠CAM=∠CBN,∠BAM=∠BCM,可以得出∠NBC=∠OCB,即可证明OC∥BN.再根据切点即可证明BN⊥CN,这个题就是要想办法证明OC和MN平行
3.在直角△ABC中,sin∠ABC=AC/AB=4/5,又因为∠AMC=∠ABC,所以在直角△CEM中,sin∠AMC=CE/CM=4/5 ,求得CE=3.2,所以OE=CE-OC=3.2-2.5=0.7,根据第二问可知E为AM中点,所以OE是△AMB的中位线,所以MB=2OE=1.4
也可以设OE=x,
在直角△AEC中,根据勾股定理有AE²=4²-(2.5-x)²
在直角△AEO中,根据勾股定理有AE²=2.5²-x²
联立两式解得x=0.7,然后根据中位线定理就可以得出MB=1.4
(2) 猜想 BN 与 CN 的位置关系:根据题目描述,点M在QO上,且AC=CM。连接AM并延长MB交过点C的切线于点N。根据三角形的性质,在直角三角形ABC中,角ACB = 90°,所以角NCA = 90°。由于MB是延长线,可以猜想BN与CN垂直,即角BCN = 90°。
理由:如果BN与CN不垂直,假设角BCN不等于90°,那么三角形BCN中的角BCN + 角BCN + 角N = 180°,即2角BCN + 角N = 180°。然而,根据角ACB = 90°和角NCA = 90°,可以得到角BCN + 角N = 180°。这两个等式矛盾,因此可以猜想BN与CN垂直,即角BCN = 90°。
(3) 若AC=4,BC=3,求MB的长度:根据题目描述,AC=CM,所以AC=4。由于三角形ABC是QO的内接三角形,角ACB = 90°。可以应用勾股定理来求解MB的长度。根据勾股定理,有AB² = AC² + BC²,代入已知值得到AB² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25,所以AB = 5。因为AC = CM,所以MC = 4。根据三角形AMC的直角三角形性质,可以计算出MB的长度:MB² = AC² + MC² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32,所以MB = √32 = 4√2。
希望这些解答对您有所帮助!如果您有任何其他问题,请随时提问。