Question

高等数学考试部分题目求解~！！！高手们进来看下~！

RT：
1，求lim(lnx/cotx)x趋于0。

2,y=3根号sin(x^2)，求y导。

3,已知e^y=cos(x+y),求y导。

4,求∫[（1+x+x^2）/x(1+x^2)]dx。

5,求函数f(x)=x^3-3x^2-9x+10的凹凸区间和拐点。

6,求∫1（上）0（下）xe^xdx。

___

7,求∫1（上）0（下）dx/(1+√2x )。

8,求抛物线y^2=x与y=x^2所围成的面积。

Answer 1

答：
1.原式
=limx→0 (1/x)/[-1/(sinx)^2]
=limx→0 -(sinx)^2/x
=limx→0 (sinx/x)^2*(-x)
=limx→0 -x
=0

2. y=3√sin(x^2)
y'=3/[2√sin(x^2)]*[sin(x^2)]'
=3cos(x^2)/[2√sin(x^2)]*(x^2)'
=3xcos(x^2)/√sin(x^2)

3. e^y=cos(x+y)
两边求导得：
y'e^y=-(1+y')sin(x+y)
y'e^y=-y'sin(x+y)-sin(x+y)
y'[e^y+sin(x+y)]=-sin(x+y)
y'=-sin(x+y)/[e^y+sin(x+y)]

4. ∫(1+x+x^2)/[x(1+x^2)] dx
=∫ 1/x+1/(1+x^2) dx
=lnx+arctanx + C

5. f(x)=x^3-3x^2-9x+10
定义域为R，且f'(x)=3x^2-6x-9，f''(x)=6x-6。
当f''(x)=0时，6x-6=0，解得x=1。
f(1)=-1所以拐点为(1,-1)。
当x<1时，f''(x)<0为凸函数；
当x>1时，f''(x)>0为凹函数。
所以f(x)的凹区间为(1,+∞)，凸区间为(-∞,1)，拐点为(1,-1)。

6. ∫(0到1) xe^x dx
=xe^x-e^x |(0到1)
=e-e-(0-1)
=1

7. ∫(0到1) dx/(1+√(2x))
换元令√(2x)=t，则x=t^2/2，dx=tdt，t从0到√2。
原定积分
=∫(0到√2) t/(1+t) dt
=∫(0到√2) 1-1/(1+t) dt
=t-ln(1+t) |(0到√2)
=√2-ln(1+√2)-0+ln1
=√2-ln(1+√2)

8.
y=x^2和y^2=x交点为(1,1)。
S=∫(0到1)dx∫(x^2到√x)dy
=∫(0到1) (√x-x^2) dx
=2x^(3/2)/3-x^3/3 |(0到1)
=2/3-1/3
=1/3