Question

请问大大们，由y=x平方，y=0，x=1所围成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体积是多少

Answer 1

体积是“π∫（0→1）(√y)^2dy”。

解析：

y=x^2和x=1相交于（1,1）点；

绕X轴旋转所成体积V1=π∫（0→1）y^2dx=π∫（0→1）x^4dx=πx^5/5(0→1)=π/5；

绕y轴旋转所成体积V2=π*1^2*1-π∫（0→1）(√y)^2dy=π-πy^2/2（0→1）=π/2；

其中π*1^2*1是圆柱的体积，而π∫（0→1）(√y)^2dy是抛物线y=x^2、y=1、x=0围成的图形绕Y轴旋转的体积。

直角坐标系法

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法

一、先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

1、区域条件：对积分区域Ω无限制；

2、函数条件：对f（x,y,z）无限制。

二、先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

1、区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成

2、函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。

Answer 2

它等于是一个底面半径为1，高也为1的圆柱体，挖去上面的一个圆锥体。
V圆柱体＝3.14*1*1*1-1/3*3.14*1*1*1=2.09

Answer 3

V=π∫[0,1]{1-(√y)^2}dy
=π∫[0,1](1-y)dy
=π(y-1/2*y^2)|[0,1]
=π/2