Question

能用顺序主子式大于零的个数来确定正惯性指数的个数吗？

Answer 1

顺序主子式大于零的个数在矩阵是正定矩阵时可以确定正惯性指数为矩阵阶数，但在一般情况下不能准确确定正惯性指数。

• 一般情况下，不能单纯用顺序主子式大于零的个数来确定正惯性指数。

• 西尔维斯特准则（Sylvester's Criterion）：一个实对称矩阵是正定矩阵（即二次型XTAX是正定二次型）的充分必要条件是它的所有顺序主子式△k>0，k=1,2,3...。当矩阵是正定矩阵时，其所有特征值大于0，此时正惯性指数p=n。

• 然而，如果矩阵不是正定矩阵（即存在顺序主子式小于等于零），仅通过顺序主子式大于零的个数无法准确判断正惯性指数。例如，一个矩阵的顺序主子式有m个大于零，n-m个小于等于零，但无法直接得出正惯性指数是m，因为特征值的正负情况不能简单地由顺序主子式的正负情况对应。

• 要确定正惯性指数，通常需要对矩阵进行合同变换化为对角矩阵，然后数对角线上正元素的个数；或者直接求矩阵的特征值，数正特征值的个数。